Un po' di teoria per capire meglio

   Facciamo una premessa e ricordiamo cosa si intende per distanza fra due punti. Se ho due punti A e B come faccio a calcolarne la distanza?

                          

    Di solito prendiamo il righello e misuriamo la distanza fra i due punti:

                         

cioè è come se misurassimo la lunghezza del segmento che si ottiene congiungendo i due punti considerati per cui, per ora, intenderemo per distanza fra due punti la misura (presa col righello) del segmento che li unisce.

    Alla luce delle nozioni studiate nella prima lezione, utilizziamo il concetto di distanza tra due punti per introdurre un'importante corrispondenza biunivoca del piano in se stesso: l'isometria.

   Si chiama isometria una corrispondenza biunivoca del piano in se stesso che conserva la distanza tra coppie di punti corrispondenti.

In altre parole: se al punto A l'isometria associa il punto A' e a B associa B’, allora vale l’uguaglianza seguente: d(A',B')=d(A,B) cioè i segmenti AB e A'B' sono congruenti.

   Da tale definizione si deduce che un'isometria conserva la lunghezza dei segmenti, ossia trasforma un segmento AB in un nuovo segmento A’B’, la cui lunghezza è identica a quella di AB.

   Le isometrie godono di alcune proprietà, che ci limitiamo ad enunciare:

1 Ogni isometria trasforma una retta in una retta, una semiretta in una semiretta, un semipiano in un semipiano (come abbiamo visto prima negli esempi)

2 In ogni isometria, il corrispondente di un angolo α è un angolo β congruente ad α (come abbiamo visto prima negli esempi)

3 In ogni isometria se due rette sono parallele, anche le loro corrispondenti sono parallele, e se due rette sono incidenti, anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo (come abbiamo visto prima negli esempi).

Una figura F ’ del piano si dice isometrica di F se F ’ è ottenuta da F applicando ad ogni punto di F l’isometria.

   Poiché un’isometria conserva la distanza tra coppie di punti corrispondenti, si comprende facilmente che le dimensioni e la forma della figura F ’coincidono con quelle della figura iniziale F. Infatti, possiamo fare il seguente esperimento:

sopra un foglio di carta, disegniamo una figura F qualsiasi; disponiamo su questo foglio un altro foglio di carta traslucida e riproduciamo su questo foglio la stessa figura F.

   Ora spostiamo a nostro piacere il secondo foglio mantenendolo aderente al primo. Osserviamo che questo movimento permette di riprodurre F in altre parti del foglio e in altre posizioni senza che per questo F subisca alcuna deformazione: si tratta di un movimento rigido che non altera né la forma né la grandezza di F, che pertanto restano invariate.

   In altre parole, possiamo dire che la definizione data di isometria e le proprietà enunciate ci permettono di fare il seguente ragionamento: se due figure sono isometriche, i segmenti che si corrispondono sono congruenti e gli angoli che si vengono a formare sono congruenti, quindi, possiamo pensare che esista un movimento rigido che le sovrappone; dunque, le due figure sono anche congruenti.

   Viceversa, se due figure sono congruenti, esiste un movimento rigido del piano che le sovrappone; in pratica, è come se il piano scorresse su se stesso fino a far coincidere le due figure.

   Possiamo, allora, stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano nella posizione iniziale e quelli nella posizione finale, intendendo come corrispondenti quelli che, nel movimento, si sovrappongono. 

   In tale corrispondenza, i segmenti si trasformano in segmenti congruenti a quelli di partenza, e si può, quindi, dire che le figure congruenti sono anche isometriche.

In sintesi:

Due figure isometriche sono anche congruenti; viceversa, due figure congruenti sono anche isometriche.  

Le isometrie fondamentali che ci proponiamo di studiare sono le seguenti:

1   Le traslazioni

2   Le rotazioni

3   Le simmetrie assiali

4   Le glissosimmetrie

 

 

Le traslazioni

 

   Una traslazione di assegnato vettore a è una corrispondenza biunivoca del piano π in sé che al punto A associa il punto A' tale che il segmento AA' è un segmento orientato appartenente al vettore a.

Tale vettore è detto modulo della traslazione

 

                     

 

Le rotazioni

 

Dati, su un piano π, un punto O ed un angolo orientato di ampiezza α, si dice rotazione di centro O ed ampiezza α la corrispondenza biunivoca di π in sé nella quale ad O corrisponde O stesso, e ad un altro punto qualsiasi P corrisponde il punto P' tale che i segmenti OP e OP' siano congruenti e l'angolo orientato POP' abbia ampiezza α:

   La rotazione si può ottenere dalla composizione di 2 simmetrie assiali. Nell'immagine in basso la rotazione di ampiezza 180° corrisponde alla composizione di due riflessioni con assi perpendicolari e che si incontrano nel centro di rotazione.

   Se l'ampiezza (come nella gif animata) è un angolo piatto, la rotazione si dice simmetria centrale di centro O.

Se α = 0 oppure α = 2π si ha l'identità.

 

Le simmetrie assiali

 

   Data, in un piano π, una retta r si dice ribaltamento di asse r o simmetria rispetto ad r o riflessione di asse r la corrispondenza biunivoca di π in sé nella quale ad ogni punto di r corrisponde il punto stesso e ad un qualsiasi punto P di π associa il punto P' tale che P e P' siano equidistanti da r, in semipiani opposti rispetto ad r e su una perpendicolare ad r, detta asse di ribaltamento.

La simmetria assiale è, quindi, una collineazione ossia mantiene l'allineamento dei punti tutti e i punti uniti di questa trasformazione sono tutti e soli i punti dell'asse di simmetria.

   Molte foglie e fiori in natura presentano un asse di simmetria: in fig. una foglia di malva, il trifoglio, la felce e la delicata viola del pensiero.

 

 

 

Le glissosimmetrie

 

Come esempio consideriamo le impronte dei piedi di una persona in cammino. Le impronte dello stesso piede sono legate da una traslazione, e quelle di piedi diversi da una opportuna riflessione più una traslazione

   Si dice glissosimmetria (o antitraslazione) relativa alla retta r e al vettore a, la corrispondenza di punti del piano che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P'' che si ottiene trovando prima il punto P' trasformato di P nel ribaltamento di asse r e poi il punto P'' trasformato di P' mediante la traslazione di modulo a oppure trovando prima il punto P' trasformato di P mediante la traslazione di modulo a e poi il punto P'' trasformato di P' nel ribaltamento di asse r:

                           

   Ne consegue che la glissosimmetria è il prodotto di un ribaltamento per una traslazione con vettore non nullo parallelo all'asse del ribaltamento in cui nessun punto è unito.

     Un'isometria si dice diretta o inversa a seconda che gli angoli orientati corrispondenti siano concordi o discordi.

     Le isometrie dirette saranno, quindi, la rotazione e la traslazione poiché non alterano l'orientazione delle figure; diversamente, quelle inverse sono la glissosimmetria e la simmetria assiale.

   Ogni isometria del piano può  essere ricondotta ad un dei quattro tipi di isometrie esaminati mediante il

Teorema fondamentale delle isometrie

"Ogni isometria ω del piano è il prodotto di al più 3 ribaltamenti, cioè o è l'identità o è un singolo ribaltamento o è il prodotto di 2 ribaltamenti o è il prodotto di 3 ribaltamenti".